小亏大赚，普通人的凸性投资完整路径

文 | 老衬

文中“周远”为虚构人物，涉及他的资金、交易与公司案例均为方便说明而设置；真实市场事件所依据的参考资料统一列于文末。本文仅讨论投资方法，不构成任何证券、期权或加密资产的投资建议。

前言：一个23%的下跌和一条窄路

7月14日上周二，IBM向市场提前交出了一份不太好看的答卷。

公司预计二季度调整后每股收益为2.93美元，营收约172亿美元，均低于华尔街此前的普遍预期。消息公布后，IBM股价在早盘一度下跌约23%。7月22日正式披露的财报显示，公司当季实际营收为171.62亿美元，市场此前担心的问题正在兑现。

一家拥有百余年历史的大公司，一天之内蒸发掉近四分之一市值。市场措手不及的不是IBM失去了多少客户，而是投资者原本相信的增长、订单和AI转型预期，被一封股东信重新定了价。

那天早上，周远在上班的地铁上刷到了这条新闻。

他三十三岁，在一家科技公司做产品经理，有一份不算低的收入，还有四十多万积蓄。过去几年，他买过指数基金，定投过科技股，行情好的时候赚过点钱。但把账户摊开来看，他很清楚，只靠工资、储蓄和每年几个点的稳定收益，很难真正跨越阶层。

假设他每年能结余十二万，不考虑投资收益，从四十万积累到三百万，需要二十多年。复利可以缩短时间，可复利的前提仍然是本金、收益率和足够漫长的等待。对于本金有限的普通人而言，这条路有明显的速度上限。

周远盯着IBM新闻看了很久，那23%下跌，让他看到了一张完全不同的收益曲线。

如果有人持有IBM股票，主要是承受股价的线性变化。股票跌10%，仓位大致亏10%；股票跌23%，仓位大致亏23%。如果提前用低成本买入看跌期权，在标的出现远超市场预期的下跌时，期权价值可能上涨数倍甚至更多。

当然，如果IBM没有下跌，或者下跌发生得太晚，那笔期权也可能归零，前阵子那个炒股暴富的字节前员工就是这么玩的。

同一条新闻，两种工具，两条不同曲线。

一条曲线特点是，涨跌跟随投入的本金比例；另一条曲线特点是，损失提前限定，收益却可能随着行情加速数倍或者更多。这种收益与损失不对称的结构，就是凸性。

周远意识到，阶层跨越虽然不是任何投资方法可以保证的结果，但对于本金有限、收入主要来自工资的人来说，如果账户永远只有线性收益，很难达到自己的目标。而凸性投资的意义，就是用一小部分可以承受的成本，为账户保留非线性增长的可能，也算是普通人一条通过投资跨越阶层的小门缝。

生活品质不能永远押在右尾上，但一个改变财富斜率的账户，也不能没有右尾，这也是周远开始研究凸性投资的缘起。

01 九次赚钱可能输给九次亏钱

几天后，周远把自己的困惑讲给一位做量化交易的朋友，朋友在纸上给周远写了两种游戏。

第一种，每玩一次，有90%概率赚1块钱，但有10%概率亏20块钱。

第二种，每玩一次，有90%概率亏1块钱，但有10%概率赚20块钱。

周远几乎没有犹豫，先选了第一种。胜率高达90%，意味着大部分时候都能赚钱；第二种要经常面对亏损，情绪肯定波动大，怎么看都不靠谱。

朋友在纸上补了行公式：期望值＝胜率×平均盈利－败率×平均亏损

第一种期望值是：90%×1－10%×20＝－1.1元。

第二种期望值是：10%×20－90%×1＝1.1元。

第一种游戏可以让人连续很多次感觉良好，却会被少数几次亏损拿走全部收益；第二种游戏大部分时间并不好看，却有机会用一次盈利覆盖此前的多次亏损。

投资中最容易产生幻觉的指标就是胜率。

2018年之前，华尔街曾流行一只代码为XIV的产品。本质上是做空短期波动率。当市场平静时，持有者可以不断获得收益，账户曲线看上去稳定而漂亮。这种策略的真实结构，就是用频繁的小额盈利交换一次潜在的巨大亏损。

2018年2月5日，波动率突然飙升。XIV前一个交易日的收盘指示价值还是108.2681美元，最终赎回价格只剩5.99美元。过去积累的许多次小额盈利，在极短时间内被一次尾部事件吞噬。

这就是负凸性：平时赚钱容易，黑天鹅一旦来临可能把此前收益连同本金一起还给市场。

很多看似稳健的策略都有类似结构。高杠杆收取资金费率、在流动性不足的市场里卖期权、为了几厘利息承担信用风险，或者长期依靠不断加仓来摊低成本，这些策略可能在多数时候有效，但一旦发生黑天鹅事件，亏损可能远超长期积累收益，甚至触发追加保证金或本金归零。

第二种游戏也没有纸面上那么轻松。

如果一笔交易只有10%概率出现大收益，连续十次都亏损的概率是0.9的十次方，约为34.9%。即使这套策略期望值是正的，但投资者仍然有超过三分之一的概率，前十次尝试都会以亏损结尾。

这意味着，投资凸性不能只看“赔率”，账户还要能活到右尾出现的那天。

假如周远把一半本金都押在第二种游戏上，他只要连错两次，现实中就接近破产了。

因此投资凸性有两个铁律：单次损失必须小，大收益出现之前，必须有能力重复尝试。大赚不是对勇气的奖励，而是为不对称赔率保留了多次机会，终于出现的结果。

02 寻找十倍机会却先掉进了“凸性假象”

理解公式之后，周远做的第一件事，是建立一张“十倍候选名单”。

名单里有价格便宜的虚值期权，有市值小的AI公司，有刚上市的前沿科技企业，也有朋友推荐的Web3代币。这些都有一个共同点：故事足够大，价格波动足够剧烈，只要押中一次，账面收益就可能很惊人。

他把这些标的全标成了“凸性机会”。直到一周之后，他开始怀疑这张名单。

2026年7月13日，General Fusion通过反向并购登陆纳斯达克，成为第一家公开上市的核聚变公司。交易首日，股价一度较12.85美元上涨约40%。核聚变的想象空间几乎没有上限，一旦技术和商业化取得突破，估值就会飙升。

报道同时提到，这家公司此前一度面临融资压力，新的技术里程碑也可能要到2028年或更晚才有结果。核聚变的右尾可能很大，可在右尾到来之前，公司仍要面对研发投入、融资、稀释和技术失败等现实问题。

周远发现，一个拥有巨大想象空间的故事，不等于购买股票就天然拥有好凸性。

一家公司股价可能上涨十倍，也可能在十倍故事兑现前不断融资，稀释掉原股东权益；一只小市值代币可能上涨百倍，也可能因为流动性枯竭、团队抛售或合约漏洞迅速归零；一张期权的亏损虽然是权利金，但如果概率已经被隐含波动率充分计价，仍可能是赔率很差的交易。

凸性是收益结构，不是买一个听上去很刺激的讲故事标的。

小市值不是凸性，波动率不是，杠杆也不是。Alpha与凸性也不是一件事。

Alpha是“市场错配”，凸性是“判断正确，收益可能很大；判断错误，损失能被限定”。一张定价公平的期权具有凸性价值，却未必是Alpha；一家严重低估的传统公司可能是Alpha，收益结构却不是凸性。

周远重新审视候选清单，逐渐把凸性来源分成了几类。

周远发现，清单中很多项目只能回答“未来空间很大”，却回答不了“持有资产的价值如何上涨”。一些项目虽然可能上涨十倍，但下跌也没有清晰底线，“小亏”只是投资者的一厢情愿。

只有失败成本可承受、成功路径可解释、市场定价可能存在偏差，才具有凸性投资意义。

03 伯里不是看空楼市，而是找到了市场的结算时间

候选名单缩短后，周远又遇到了新问题。

他知道应该找什么，却不知道一条凸性线索怎样从投研报告走进真实价格。很多判断最终证明是对的，但在兑现之前可能等了太久，付出了太高成本，或者因为行情反向波动而离场了。

他翻出了之前迈克尔·伯里做空美国次贷的故事。

故事主人公伯里比别人更早看见了房地产泡沫，而且找到了泡沫破裂的可能时间。

伯里研究底层贷款时，发现房贷越来越多发放给收入和信用不足的借款人。房价上涨很明显缺少工资增长支撑，大量浮动利率贷款可能在两年后重新定价。因为借款人在最初优惠利率结束后，明显上升的月供会带来很多信用违约。

根据美国金融危机调查委员会的报告，到2005年年中，伯里通过信用违约互换，对数十亿美元规模的按揭证券及相关金融公司债券建立了空头敞口。他支付相对有限、持续发生的保费，换取房地产信用体系崩塌时可能出现的巨大回报。

这笔交易的完整逻辑是一条连续的传导链：

伯里与其说是预测未来，不如说是在寻找一个终将被现金流验证的结算过程。这是许多普通投资者研究凸性时最容易缺失的一环。

一家公司的市场空间很大，却不知道下一份订单何时出现；某项技术可能改变世界，却不知道商业化还要烧掉多少钱；一只股票被低估，却不知道什么力量会促使其他投资者重新定价。低估的事实存在，但市场价格却没义务立刻承认事实。

按照迈克尔·伯里的故事，一条可以交易的凸性线索，通常要经历五个阶段。

最初是假设期：投资者看到可能存在错估，但证据还不完整。这个阶段赔率最好，失败概率也最高。

随后是硬证据期：订单、用户、收入、监管文件、临床数据或者产业链变化开始支持判断。上涨空间开始略有收窄，但成功概率明显提高了。

接下来是点火期：财报、审批、政策、产品上线或者资金流变化，原本无人问津的逻辑进入市场更多人的视野。

然后是扩散期：分析师上调预期、机构增配、空头回补、期权Gamma和流动性共同推动行情加速。此时最容易出现大幅盈利，也最容易把已经兑现的收益错认成仍然存在凸性。

最后是赔率衰减期：故事被广泛传播，价格已经包含大量乐观预期。即使基本面继续向好，剩余收益也可能不再足以补偿风险。

伯里的启示不是让所有人寻找下一场危机，而是明白真正可持续的凸性投资，必须同时找到事实、时间和投资工具。

只发现一个可能正确的结论并不够，还要知道什么催化剂会迫使市场承认，什么时候承认，以及自己仓位能不能活到那一天。

04 凸性不只藏在期权里，也藏在利润表和交易条款里

研究伯里以后，周远有一段时间过度迷恋期权。觉得只有最大亏损限定为权利金，收益可能数倍增长，才配得上“凸性”二字。

直到一次老同事聚会，他把视线从期权移回了公司本身。

一位在软件公司工作的朋友提到，公司过去三年一直在投入研发和销售团队，费用很高，利润却不明显。最近产品逐渐成熟，不再需要增加研发人员，客户增长却没停滞。如果明年续约率和客单价继续提升，收入增长可能很快就会转化为利润。

为了把账算清楚，周远假设朋友公司每年收入1亿，毛利率80%，毛利润为8000万。研发、销售和管理等费用合计7000万，营业利润只有1000万。

假设第二年收入增长50%，达到1.5亿，毛利润相应增长到1.2亿。由于产品已经成熟，新增收入不需要同比例增加研发和管理人员，费用从7000万增长到8000万，营业利润会从去年的1000万增长到4000万。

结论是：收入增长了50%，利润却增长了三倍。

这是经营杠杆，前期固定成本已经投入，越过盈亏平衡线以后，新增收入会以更快速度流向利润。投资者即使只是持有普通股票，也可能获得明显的非线性收益。

不过经营杠杆也有正反两面。

如果朋友的软件公司需要为每个客户进行大量定制，收入增长同时必须同步增加更多员工，利润就不会出现预想中的跳跃；如果客户续约率还下降了、应收账款不断上升，或者公司持续融资，增长带来的价值就可能被坏账和股权稀释覆盖掉。

于是，周远不再只问“公司能增长多少”，而是追踪一组更接近凸性来源的指标：续约率是否稳定，新增收入的边际成本是否下降，毛利率是否提升，销售费用的回收周期是否缩短，现金储备能否支撑公司走过亏损期。

这些不是为了验证这家公司一定成功，而是为了判断公司收入从1走到2，利润有没可能从1走到4。

巴菲特在2008年金融危机中投资高盛就是类似的凸性投资。

当时高盛急需资本和市场信心。伯克希尔投入50亿美元，获得票息10%的永久优先股，同时得到以每股115美元买入约4348万股高盛普通股的认股权证。优先股后来被赎回，认股权证经过无现金行权，最终为伯克希尔带来约1306万股高盛股票。

这笔投资巴菲特并没有只押注“高盛会反弹”。他先通过优先股获得10%的持有收益，又通过认股权证保留高盛复苏后的上涨空间。即使复苏来得慢，优先股仍会为等待时间提供补偿；一旦高盛走出危机，权证能把上涨转化为更大收益。

普通投资者一般拿不到巴菲特同样的谈判条件，却可以用类似视角选择资产和投资工具。一家公司能否在等待期间产生现金流，资产负债表能否让公司活到行业复苏，有没有到期日，新增价值是否归属股东，这些问题都会决定凸性质量。

“成本少”不等于购买价格便宜的期权。成本既包括支付出去的钱，也包括时间损耗、融资成本、稀释风险、机会成本，以及在最差时期被迫离场的可能。

好的凸性，不是来自筹码便宜，而是来自有利的生存条件。

05 方向看对仍然亏钱

IBM正式发布财报日期原本是7月22日，真正改变价格的消息却发生在7月14日。

周远注意到了这个时间差，画了两只闹钟。

第一只闹钟是公司日历。财报什么时候发布，临床数据什么时候公布，政策会议什么时候举行，都可以提前写在日程表上。

第二只闹钟是市场表现。大客户可能提前取消订单，公司可能突然下调指引，监管文件可能提前出现，资金也可能在正式消息公布前转变方向。

投资者一般按照第一只闹钟购买标的，行情却可能按照第二只闹钟提前发生转变。

这是期权交易中，方向正确仍然亏钱的常见原因。

期权并不只由标的价格决定。根据期权行业委员会的说明，期权价值还受到执行价格、剩余期限、隐含波动率、利率和预期股息等因素影响。Delta衡量期权价对标的价格变化的敏感度；Gamma衡量Delta变化的速度；Theta反映时间流逝造成的价值损耗；Vega反映隐含波动率变化对期权价的影响。

这些专业术语翻译成四句大白话。

Delta决定标的动一下，期权大致跟多少。Gamma决定行情越走越快时，期权能不能跟着加速。Theta是每天醒来以后，账户收走多少费用。Vega则说明市场从紧张恢复平静时，期权会不会即使方向正确，也因为隐含波动率下降而缩水。

很多人把末日期权理解为最极致的凸性，因为末日期权的价格低、Gamma高，标的稍有大幅变化，期权就可能上涨数倍，但末日期权的Theta同样很高，是以极高时间损耗和极窄兑现窗口为代价的凸性。

末日期权具有极强的局部“凸性”，但不等于具有良好的投资赔率，末日期权把点火时间压缩到几天甚至几个小时，只要事件稍微晚一点，方向判断即便正确，期权也会归零。

隐含波动率则是购买凸性时支付的价格。

假如市场预期某只股票会在财报后波动25%，期权价格通常会提前包含预期。即使股票最终真的下跌20%，看跌方向正确，买方仍未必获得收益，因为实际波动没有超过期权价格预先要求的幅度。

期权具有凸性特征，不代表价格一定划算。买得太早，可能死于等待；买得太晚，可能死于定价；期限太短，可能死于时间；仓位太大，可能没有等到逻辑兑现，就死于一次正常波动。

06 先决定最多愿意亏多少

周远接下来的难题，是账户应该怎样设计这些经常性的失败。

凸性机会大部分时间会亏损，仓位太小，偶尔出现大行情也改变不了太多；仓位太大，连续几次失败会损伤本金。小亏和大赚之间，找不到完美比例。

比尔·阿克曼有个案例，2020年初，比尔·阿克曼管理的潘兴广场担心疫情可能对经济和信用市场造成巨大冲击，他没有卖掉全部持仓，而是通过信用违约互换建立对冲。

根据潘兴广场年报，这组对冲累计支付的保费和佣金约为2700万美元，最终产生约26亿美元总回款，其中约21亿美元归属于潘兴广场控股。随着信用利差大幅走阔，对冲的剩余风险收益比下降，阿克曼选择平仓，并把资金重新投入大幅下跌的优质公司。

这笔交易很漂亮，不只是小成本换来了大回报。对冲仓位只是潘兴广场账户的一部分，即使疫情没有演变成危机，损失也只是已经支付的保费。一旦尾部风险发生，对冲收益不仅可以弥补主仓损失，还能为危机后的低价抄底提供现金。

因此凸性投资的使命不仅仅是“赚钱”，还可以改善账户在极端情形下的生存能力。

塔勒布参与的一项尾部风险研究曾指出，在严格限制左尾损失的情况下，一端保持较高确定性、另一端保留较大不确定性的“杠铃结构”会自然出现。

假设周远有三十万可投资资产，应急资金已经单独留出。他没有把三十万全部用于寻找十倍机会，而是让大部分资金继续承担长期复利和流动性管理，只把其中一小部分设为年度凸性损失预算。

假如年度预算1.5万，他可以分成十个风险单位，每个1500元。即使十次凸性尝试全部失败，账户损失仍被限制在总资产的5%左右。假设十次尝试中，有七次归零，两次获得两倍回报，一次获得二十倍回报。那么总投入1.5万，回款为3.6万，净收益2.1万。

决定结果的是那一次二十倍。反过来，如果最大只有三倍，十次交易即使偶尔成功，也很难覆盖损失。所以凸性投资不能靠“可能涨很多”的想象，而是切实需要足够大的潜在收益，还不能高估自己的成功概率。

1.5万肯定不足以让一个人跨越阶层，而是要训练账户能够承受连续失败，在真正的右尾出现时留在场内。最初用小仓位只是购买观察权，证据增加以后逐步提高仓位，让少数被持续验证的机会从试仓成长为重要持仓，同时让没有得到验证的机会按原计划结束。

07 第一笔不是证明自己，而是购买继续观察的资格

有了账户框架以后，周远重新研究朋友那家软件公司。

公司处于利润拐点之前，新产品已经完成，几家客户开始试用，但续约率、客单价和销售效率还没有形成足够长的记录。此时买入，赔率可能很好，但失败概率也高。

周远把单个风险单位记为R。1R代表他在一项机会中能够承受的最大损失。

公司只有产品和市场空间、缺少经营数据的情况下，他会建立0.25R的观察仓。这个仓位不是为了立刻赚大钱，而是让他开始投研这家公司的财报、跟踪客户和记录竞争变化。

当第一批客户续约以后，收入真实性得到确认，他会把仓位提高到0.5R。

当新增客户不变，公司却不再需要同比例增加费用，毛利率和经营现金流同时改善，经营杠杆开始进入利润表以后，他才把仓位提高到1R。

这与很多人的加仓习惯相反，很多人常常看到价格下跌而加仓，因为低价意味着便宜。而在凸性投资中，值得加仓的不是价格下降，而是成功概率上升、价值捕获路径变清晰，或者催化剂开始转化为真实订单和现金流。

价格下跌同时证据恶化，通常意味着原有逻辑失效了；价格上涨同时证据增强，可能仍然保留不错的剩余赔率，但也要考虑剩余上涨空间能否补偿新的损失风险。

很多人只在买入时计算赔率，之后便把注意力放在盈利金额上。凸性不是永久有效，证据增加、价格上涨和事件兑现，成功概率可能越来越高，剩余收益可能也越来越小，最终可能变成普通交易甚至负凸性。

因此凸性必须设置失效条件，不是传统意义的止损，而是与原有逻辑直接对应的事实。如果凸性来自续约率提升，那么续约率连续下降就是失效信号。如果凸性来自监管批准，那么审批延期、试验数据恶化或安全问题就是失效信号。

如果凸性失效信号真实发生了，价格却还在涨，继续持有就不属于耐心和凸性投资了，而是用旧故事来回避新证据。

阿克曼在2020年退出信用对冲时，并不知道市场是否见底。他的平仓原因是信用利差已经大幅走阔，对冲继续上涨的空间下降，他对事件判断的逻辑基本兑现了，这也是凸性投资完整线路的最后一环。退出不是因为赚得足够多，而是因为剩余凸性下降了。

周远后来把退出条件归纳为四种。

第一种是逻辑失效。原本支撑右尾的事实被破坏，无论盈亏都应重新判断。

第二种是事件兑现。催化剂已经发生，市场完成主要重估，剩余收益不再补偿风险。

第三种是工具失效。期权临近到期、Theta快速增加，或者隐含波动率下降，使投资工具不再适合承载原有逻辑。

第四种是账户失衡。一个成功仓位上涨以后占比过高，即使标的仍有前景，也可能让整个账户结构重新暴露在单一尾部风险之下。

退出并不一定意味着一次清仓。对于仍有长期价值的公司，可以在事件兑现后保留部分普通股票；对于已经大幅上涨的仓位，可以分段降低风险，把部分利润转回主仓，留下不会破坏账户结构的右尾敞口。

写在最后

每一笔凸性投资都要有一个能够从头讲到尾的完整叙事。

开头说清楚标的收益为什么能加速。可以是来自期权、认股权证等合约结构，也可以来自经营杠杆、事件重估或者网络效应。如果只是市场空间大、资产市值小，解释不了价值如何非线性增长，这笔投资就没有找到真正的凸性来源。

紧接着是准备好多次失败。公司可能破产，期权可能归零，事件可能落空，代币可能因为解锁和流动性枯竭失去价值。损失不能只用金额衡量，还要考虑杠杆、跳空、时间损耗以及无法退出的风险。只有这些损失都在账户承受范围内，“小亏”才不是自我安慰。

随后是把资产从1走到10的过程说清楚。收入怎样转化为利润，用户增长怎样形成网络效应，监管变化怎样影响订单，技术突破又怎样进入投资者实际持有的股票或代币。右尾不能只有一个遥远终点，中间必须存在一连串可以跟踪和验证的节点。

以上路径成立以后，还要解释市场为什么没有提前完成定价。市场为什么低估了成功概率，还是低估了事件的影响幅度和传播速度；另一种可能，市场是不是看见了风险，只是自己没有找到隐藏的风险。必须说清楚市场忽视了什么，以及市场可能比自己更正确的地方。

接下来要拿出足够的证据和时间。订单、现金流、用户留存、监管文件和产业数据属于硬证据，项目宣传、市场传闻和个人推断只是线索。催化剂只负责让潜在价值进入市场视野，真实订单、价格变化和资金流才说明故事已经开始点火。

投资工具和兑现时间也要匹配。普通股票可以较长时间等待经营变化，期权和价差组合却会因到期日、Theta与隐含波动率受到约束。一项判断即使正确，如果投资工具先于事实到期，账户仍然会亏损。选择什么投资工具，本质上也是在决定愿意为等待支付多少成本。

最后回到账户本身。账户能接受连续失败多少次，再检查那些看似不同的仓位是否都押注了同一个周期、同一轮流动性或者同一种监管结果。十笔高度相关的交易，不是十次分散试错，而是同一场赌博被拆成了十个筹码。

如果仓位上涨，要重新计算剩余凸性。原有逻辑可能继续成立，但价格已经兑现了大部分预期；上涨越多，继续持有承担的风险就越大。哪项事实能够证明信号失效了，什么时候投资工具不再适合了，剩余收益何时无法补偿潜在损失了，这些都需要情绪最平静的时候就提前定好。

关于周远

凸性这个选题一直想写，但始终没有找到合适的切入口。

若只罗列概念，文章难免晦涩难懂，读者很难真正看到关于凸性投资的完整图景，因此本文虚构了周远。

周远不是现实中某个具体的人，更像是许多人设雷同的投资者集合，当然也包括老衬本人不少经历和缩影。他有投资常识，也有实操经验，理解风险，会被高收益投资方式吸引。他有判断能力，却未必理解凸性路径，可能因为价格、时间和仓位安排不当，付出过惨痛代价。

希望通过周远的经历，本文读者既能看到凸性投资性感的一面，也能看清凸性投资背后隐藏的成本和陷阱。并不是所有潜在回报巨大的机会都具有凸性，凸性投资的失败概率较高，也不适合情绪较大起伏的投资者。

最后，希望大家未来的投资生涯，既能保持对右尾机会的想象力，也始终保持对左尾风险的敬畏心。愿大家都看得懂风险，等得到机会，始终留在牌桌上。

参考资料

美联社（AP）：《IBM: A Late-Quarter Deal Slump and Client Spending Shifts Leave Q2 Outlook Short》

IBM Newsroom：《IBM Releases Second-Quarter Results》

美国证券交易委员会（SEC）：《In the Matter of Securities America Advisors,Inc.》

TechCrunch：《Investors Send General Fusion Soaring in Debut as First Publicly Traded Fusion Company》

美国金融危机调查委员会：《The Financial Crisis Inquiry Report》

伯克希尔·哈撒韦：《2013 Annual Report》

期权行业委员会（OIC）：《Volatility & the Greeks》

潘兴广场控股：《2019 Annual Report》

arXiv：《Tail Risk Constraints and Maximum Entropy》